Matriz identidade, inversa e transposta

A matriz identidade é aquela que, ao ser multiplicada por uma outra matriz de mesma dimensão, resulta na matriz original. Em outras palavras, é uma matriz onde há apenas '1's' na sua diagonal principal.

\[ \large{} I _3 = \begin{bmatrix} 1 && 0 && 0 \\ 0 && 1 && 0 \\ 0 && 0 && 1 \end{bmatrix} \]

A inversa de uma matriz, denotada por \( A ^{-} \) é aquela que, ao ser multiplicada por \( A \), resulta na matriz identidade \( I \) de \( A \). Em outras palavras:

\[ \large{} A \times A ^{-1} = I \]

A matriz transposta da matriz \( A _{ij} \) é a matriz \( A _{ji} ^T \). Trata-se da matriz que vamos obter quando reescrevemos a matriz \( A _{ij} \) trocando de posição as linhas e colunas, transformando a primeira linha de \( A _{ij} \) na primeira coluna de \( A _{ji} ^T \), a segunda linha de \( A _{ij} \) na segunda coluna de \( A _{ji} ^T \), e assim sucessivamente.

\[ \large{} A _{ij} = A _{ji} ^T \]

\[ \large{} A = \begin{bmatrix} a && b \\ c && d \\ e && f \end{bmatrix} , A ^T = \begin{bmatrix} a && c && e \\ b && d && f \end{bmatrix} \]